12. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а диагонали относятся как 3:4. 13. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см². Найдите стороны ромба.

Задача 12. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а диагонали относятся как 3:4.

Для нахождения площади ромба можно использовать формулу:

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей ромба.

Поскольку диагонали относятся как 3:4, то можно записать их как:

где $k$ — это некая величина, которую нужно найти. Для того чтобы найти $k$, воспользуемся тем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника. В одном из этих треугольников гипотенуза является стороной ромба, а катеты — это половины диагоналей. Пусть одна половина диагонали будет $\frac{d_1}{2} = \frac{3k}{2}$, а другая половина $\frac{d_2}{2} = \frac{4k}{2}$.

Поскольку сторона ромба равна 20 см, то по теореме Пифагора для одного из треугольников получаем:

Теперь, зная $k = 8$, можем найти длины диагоналей:

Теперь вычислим площадь ромба:

Ответ: Площадь ромба равна 384 см².

Задача 13. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см². Найдите стороны ромба.

Для начала обозначим длины диагоналей ромба как $d_1$ и $d_2$. Из условия задачи известно, что одна диагональ на 4 см больше другой, то есть:

Площадь ромба можно выразить через диагонали:

Заменим $d_2$ на $d_1 + 4$:

Умножим обе стороны на 2:

Раскроем скобки:

Преобразуем это в квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: