1. На рисунке MN II AC
а) Докажите, что AB*BN = CB*BM
б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.
2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см, AB = 12 см, BC = 15 см, AC = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.
СРОЧНОООО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ответ на задание:

1. На рисунке $MN \parallel AC$

а) Докажите, что $AB \cdot BN = CB \cdot BM$

Так как $MN \parallel AC$, то треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ являются подобными по признаку равенства углов: $\angle ABM = \angle CBM$ (они вертикальные), а также $\angle BAM = \angle BCM$ (так как это соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BM$).

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны:

Преобразуем пропорцию:

Что и требовалось доказать.

б) Найдите $MN$, если $AM = 6$ см, $BM = 8$ см, $AC = 21$ см.

Из условия задачи следует, что $MN \parallel AC$, а значит, треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ подобны. Пропорция для подобных треугольников будет выглядеть так:

Известно:

• $AM = 6$ см,
• $AC = 21$ см,
• $AB = AM + BM = 6 + 8 = 14$ см.

Теперь подставим значения:

Упростим дробь $\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$, и получим:

Ответ: $MN = 9$ см.

2. Найдите отношение площадей треугольников $PQR$ и $ABC$

Для нахождения отношения площадей треугольников $PQR$ и $ABC$ воспользуемся формулой для отношения площадей подобных треугольников, которая равна квадрату отношения соответствующих сторон.

Но в задаче не указано, что треугольники $PQR$ и $ABC$ подобны, поэтому будем действовать по-другому, используя формулу Герона для нахождения площади каждого треугольника и их соотношения.

Площадь треугольника $PQR$

1. Полупериметр $p$ треугольника $PQR$:

   $$p = \frac{PQ + QR + PR}{2} = \frac{16 + 20 + 28}{2} = 32 \text{ см}.$$

2. Площадь $S_{PQR}$:

   $$S_{PQR} = \sqrt{p(p - PQ)(p - QR)(p - PR)} = \sqrt{32 \cdot (32 - 16) \cdot (32 - 20) \cdot (32 - 28)}.$$ $$S_{PQR} = \sqrt{32 \cdot 16 \cdot 12 \cdot 4} = \sqrt{24576} = 156 \text{ см}^2.$$

Площадь треугольника $ABC$

1. Полупериметр $p$ треугольника $ABC$:

   $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{12 + 15 + 21}{2} = 24 \text{ см}.$$

2. Площадь $S_{ABC}$:

   $$S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{24 \cdot (24 - 12) \cdot (24 - 15) \cdot (24 - 21)}.$$