1) Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба. 2) Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30 градусов. Найдите площадь ромба.

1) Дана сторона $a = 5$ и диагональ $d_1 = 6$. Найти площадь ромба

Дано
$a = 5$, $d_1 = 6$

Идея решения
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Зная половину одной диагонали и сторону, по теореме Пифагора найдём половину второй диагонали, а затем площадь по формуле $S=\frac{d_1d_2}{2}$.

Ход решения

1. Половина первой диагонали:

   $$\frac{d_1}{2}=3.$$

2. Пусть половина второй диагонали равна $x$. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, выполняется

   $$x^{2}+3^{2}=5^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=25-9=16,\; x=4.$$

3. Полная длина второй диагонали:

   $$d_2 = 2x = 8.$$

4. Площадь ромба:

   $$S = \frac{d_1 d_2}{2}= \frac{6\cdot 8}{2}=24.$$

Ответ: $S = 24$.

2) Дан периметр $P = 40$ и угол $\alpha = 30^{\circ}$. Найти площадь ромба

Дано
$P = 40$, $\alpha = 30^{\circ}$

Идея решения
Периметр даёт сторону, после чего используем формулу площади через сторону и синус угла: $S=a^{2}\sin\alpha$.

Ход решения

1. Сторона ромба:

   $$a = \frac{P}{4} = \frac{40}{4}=10.$$

2. Площадь:

   $$S = a^{2}\sin\alpha = 10^{2}\cdot\sin30^{\circ}=100\cdot\frac{1}{2}=50.$$

Ответ: $S = 50$.