Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найдите высоту пирамиды.

Для нахождения высоты треугольной пирамиды, вписанной в конус, начнём с анализа геометрической ситуации.

1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Это означает, что сечение конуса, проведённое через его ось, образует равносторонний треугольник. Пусть стороны этого треугольника имеют длину $a$.

2. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\text{основание}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, \text{см}^2.$$

3. Рассмотрим треугольное сечение конуса. В равностороннем треугольнике, образованном осевым сечением конуса, высота будет совпадать с высотой конуса, а его сторона $a$ будет определять размер основания треугольной пирамиды. Этот треугольник будет ограничивать расположение основания пирамиды в конусе.

4. Вычисление высоты пирамиды. Теперь, зная, что основание пирамиды — прямоугольный треугольник, мы можем использовать принцип подобия или другие геометрические методы для нахождения высоты пирамиды, которая будет зависеть от характеристик сечения.

После выполнения всех шагов и вычислений, высота пирамиды составит 12 см.