Объем конуса равен 9 корней из 3 пи см кубич. Найти высоту конуса, если его осевое сечение - равносторонний треугольник.

Для решения задачи нужно использовать две ключевые формулы, связанные с конусом: формулу объема конуса и свойства его осевого сечения. Давайте подробно разберёмся, как найти высоту конуса, если объем и осевое сечение заданы.

Шаг 1: Формула объема конуса

Объем $V$ конуса рассчитывается по формуле:

где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота. Нам известно, что объем равен $9 \sqrt{3} \pi$, поэтому можем подставить это значение в формулу и выразить связь между $r$ и $h$.

Получим уравнение:

Сокращаем обе части уравнения на $\pi$:

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

Шаг 2: Свойства осевого сечения конуса

Поскольку осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, это значит, что стороны этого треугольника равны. Осевое сечение конуса — это треугольник, образованный высотой $h$, диаметром основания (равным $2r$) и боковой стороной (образующей) конуса.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому:

Шаг 3: Подстановка и нахождение высоты

Теперь мы знаем, что $h = 2r$. Подставим это выражение в наше уравнение для объема:

Преобразуем правую часть:

Разделим обе части на 2:

Теперь найдем $r$ путем взятия кубического корня:

Шаг 4: Нахождение высоты

Поскольку $h = 2r$, можем найти высоту, умножив значение $r$ на 2:

Таким образом, высота конуса выражается через кубический корень, и это будет окончательный ответ для данной задачи.