В прямоугольном треугольнике АВС угол С=90 градусов, АС = 4 см, СВ= 4√3 см, СМ - медиана. Найти угол ВСМ.

В прямоугольном треугольнике $ABC$, где угол $C = 90^\circ$, а стороны $AC = 4$ см и $CB = 4\sqrt{3}$ см, требуется найти угол $\angle BCM$, где $M$ — это точка пересечения медианы $CM$ с гипотенузой $AB$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$:
   Так как треугольник прямоугольный, можно применить теорему Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + CB^2$$

   Подставим значения:

   $$AB^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$$ $$AB = \sqrt{64} = 8 \, \text{см}$$

2. Найдем длину медианы $CM$:
   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, имеет длину, равную половине гипотенузы. Таким образом:

   $$CM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}$$

3. Используем косинусное правило для нахождения угла $\angle BCM$:
   Для того чтобы найти угол $\angle BCM$, применим косинусное правило в треугольнике $BCM$. По косинусному правилу для угла $\angle BCM$:

   $$\cos(\angle BCM) = \frac{BC^2 + CM^2 - BM^2}{2 \cdot BC \cdot CM}$$

   Сначала найдем $BM$ — это половина гипотенузы $AB$, то есть:

   $$BM = \frac{AB}{2} = 4 \, \text{см}$$

   Теперь подставим значения в формулу:

   $$\cos(\angle BCM) = \frac{(4\sqrt{3})^2 + 4^2 - 4^2}{2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4}$$ $$\cos(\angle BCM) = \frac{48 + 16 - 16}{2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4} = \frac{48}{32\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Таким образом, $\cos(\angle BCM) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что означает, что:

   $$\angle BCM = 30^\circ$$

Ответ: угол $\angle BCM = 30^\circ$.