1) Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? 1. Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 2. Если в па­рал­ле­ло­грам­ме две со­сед­ние сто­ро­ны равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом. 3. Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой. За­да­ние 13 Ответ: 2) Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? 1. В любой пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции есть два рав­ных угла. 2. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния. 3. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ведённую к этой сто­ро­не. За­да­ние 13 Ответ: 3) Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно? 1. Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам. 2. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно ко­эф­фи­ци­ен­ту по­до­бия. 3. Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность. За­да­ние 13 Ответ: 4) Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? 1. Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 2. Все квад­ра­ты имеют рав­ные пло­ща­ди. 3. Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов. За­да­ние 13 Ответ: 5) Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно? 1. Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны. 2. Точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей. 3. Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

Разберём каждое задание по отдельности.

1) Какие из следующих утверждений верны?

1. Существует квадрат, который не является прямоугольником.
   ❌ Неверно. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Поэтому любой квадрат обязательно является прямоугольником.

2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
   ✅ Верно. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то по определению все стороны будут равны, а значит, это ромб.

3. Все диаметры окружности равны между собой.
   ✅ Верно. Диаметр — это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две её точки. Все такие отрезки имеют одинаковую длину, равную удвоенному радиусу.

Ответ: 2 и 3

2) Какие из следующих утверждений верны?

1. В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
   ✅ Верно. В прямоугольной трапеции по определению два угла прямые (по 90°), а значит, они равны.

2. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
   ❌ Неверно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а не параллельна.

3. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
   ✅ Верно. Это стандартная формула площади параллелограмма (в том числе ромба): $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота.

Ответ: 1 и 3

3) Какое из следующих утверждений верно?

1. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
   ❌ Неверно. Сумма всех углов любого треугольника, в том числе прямоугольного, всегда равна 180 градусам.

2. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
   ❌ Неверно. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, а не самому коэффициенту.

3. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
   ✅ Верно. Вписать в окружность можно любой прямоугольник, потому что его противоположные углы в сумме дают 180°, а также диагонали пересекаются в одной точке и равны.

Ответ: 3

4) Какие из следующих утверждений верны?

1. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
   ✅ Верно. Такой прямоугольник — это квадрат. У него диагонали равны и пересекаются под прямым углом.

2. Все квадраты имеют равные площади.
   ❌ Неверно. Квадраты могут иметь разные длины стороны, следовательно, и разные площади. Например, квадрат со стороной 2 и квадрат со стороной 5 имеют площади 4 и 25 соответственно.

3. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
   ❌ Неверно. Например, в равностороннем треугольнике все углы по 60°. Вообще, углы могут быть любыми (например, 70°, 60°, 50°), и все могут быть больше 60°, кроме одного. Поэтому утверждение неверно.

Ответ: 1

5) Какое из следующих утверждений верно?

1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   ❌ Неверно. Для равенства по двум сторонам нужен ещё угол между ними. Только по двум сторонам без дополнительного условия — недостаточно.

2. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
   ❌ Неверно. Такая точка обычно не равноудалена от центров окружностей. Она лишь лежит на обеих окружностях, но расстояния до центров могут отличаться.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
   ✅ Верно. Это свойство ромба: его диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Ответ: 3