Из точки М проведен перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСД. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно. Докажите, что треугольники МАД и МСД прямоугольные.

Для доказательства того, что треугольники МАД и МСД прямоугольные, рассмотрим геометрическую ситуацию.

1. Местоположение точек и перпендикуляр:
   Из точки $М$ проведен перпендикуляр $МВ$, который равен 4 см. Это означает, что $МВ$ перпендикулярен к плоскости прямоугольника $АВСД$, а точка $В$ находится на прямой, проходящей через точку $М$ и перпендикулярной к этой плоскости.

2. Углы наклонных:
   Наклонные $МА$ и $МС$ образуют с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно. Это означает, что углы $\angle МАВ$ и $\angle МСВ$ равны 45° и 30°.

3. Использование тригонометрии для определения высот:
   Теперь применим тригонометрию. Пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты, на которые поднимаются точки $А$ и $С$ относительно плоскости прямоугольника, соответственно. Тогда:

   $$h_1 = МВ \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4 \, \text{см},$$ $$h_2 = МВ \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2.309 \, \text{см}.$$

4. Прямоугольность треугольников:
   Важно отметить, что треугольники $МАД$ и $МСД$ — это треугольники с вершинами $М$, $А$, $Д$ и $М$, $С$, $Д$, соответственно. Точки $А$ и $С$ находятся на одинаковом уровне относительно плоскости прямоугольника, так как их высоты, определённые через наклонные, конечны и образуют углы 45° и 30°.

   В обоих случаях, поскольку прямой угол между перпендикулярной прямой и наклонной формирует прямоугольный треугольник, треугольники $МАД$ и $МСД$ будут прямоугольными. Это объясняется тем, что угол между перпендикулярной прямой и наклонной в обоих случаях равен 90°, что является характеристикой прямоугольного треугольника.

Таким образом, мы доказали, что треугольники $МАД$ и $МСД$ являются прямоугольными.