Из точки М проведен перпендикуляр МД, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСД. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60º. а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные; б) Найдите сторону квадрата; в) Найдите площадь треугольника АВД.

а) Докажем, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.

1. У нас есть точка М, от которой проведен перпендикуляр МД к плоскости квадрата АВСД, и длина этого перпендикуляра составляет 6 см.

2. Треугольники МАВ и МСВ образуются от точки М и двух вершин квадрата — А и С, соответственно.

3. Поскольку МД — это перпендикуляр, то угол между отрезком МД и плоскостью квадрата будет прямым (90º).

4. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60º.

5. Угол между наклонной МВ и плоскостью квадрата (угол наклона) составляет 60º. Это означает, что наклонная МВ и отрезок МД составляют прямой угол, так как угол между ними равен 90º - 60º = 30º.

Таким образом, в треугольнике МАВ угол между МА и МВ — прямой (угол 90º), и аналогично, в треугольнике МСВ угол между МС и МВ также прямой. Следовательно, оба треугольника МАВ и МСВ — прямоугольные.

б) Найдем сторону квадрата.

1. Мы знаем, что перпендикуляр МД = 6 см и угол наклона МВ = 60º.

2. Поскольку угол наклона равен 60º, то, в треугольнике МАВ, угол между наклонной МВ и плоскостью квадрата составляет 60º.

3. Таким образом, можно использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны квадрата. Рассмотрим треугольник МАВ.

4. В этом треугольнике МД — высота, равная 6 см, а угол наклона 60º. В этом случае, гипотенуза МВ и сторона квадрата связаны через косинус угла наклона:

   $$\cos(60^\circ) = \frac{\text{отнятая сторона (МД)}}{\text{гипотенуза (МВ)}}$$ $$\cos(60^\circ) = \frac{6}{\text{МВ}}$$

   Поскольку $\cos(60^\circ) = 0.5$, получаем:

   $$0.5 = \frac{6}{\text{МВ}}$$ $$\text{МВ} = 12 \, \text{см}.$$

Теперь, зная, что гипотенуза в треугольнике МАВ составляет 12 см, можно найти сторону квадрата, используя свойства прямоугольного треугольника. Сторона квадрата будет равна проекции гипотенузы на плоскость квадрата:

в) Найдем площадь треугольника АВД.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{высота}.$$

2. Основание треугольника — это сторона квадрата, равная 6 см.

3. Высота треугольника — это длина перпендикуляра МД, равная 6 см.

4. Подставляем значения в формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2.$$

Таким образом, площадь треугольника АВД равна 18 см².