Из точки М проведен перпендикуляр МВ , равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСD.Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы в 45º и 30º соответственно.
а) докажите, что треугольники МAD и MDC прямоугольные;
б) найдите стороны прямоугольника;
в) докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.

Рассмотрим задачу подробно по каждому пункту.

Дано:

1. Точка $M$ находится вне плоскости прямоугольника $ABCD$.
2. Проведен перпендикуляр $MB$ из точки $M$ к плоскости прямоугольника, и $MB = 4$ см.
3. Наклонные $MA$ и $MC$ образуют с плоскостью прямоугольника углы $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.

Задача:

1. Доказать, что треугольники $MAD$ и $MDC$ прямоугольные.
2. Найти стороны прямоугольника.
3. Доказать, что треугольник $BDC$ является проекцией треугольника $MDC$ на плоскость прямоугольника, и найти его площадь.

Решение:

а) Доказательство, что треугольники $MAD$ и $MDC$ прямоугольные

Для доказательства рассмотрим наклонные $MA$ и $MC$, проведенные из точки $M$ к плоскости $ABCD$.

• Так как $MB$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, наклонные $MA$ и $MC$ также наклонены к этой плоскости. Углы наклона $MA$ и $MC$ к плоскости $ABCD$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.

• Угол между наклонной и её проекцией на плоскость равен углу наклона этой наклонной к плоскости. Это значит, что проекции $MA$ и $MC$ на плоскость $ABCD$ (это отрезки $AD$ и $CD$ соответственно) образуют углы $\angle MAD = 90^\circ$ и $\angle MDC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $MAD$ и $MDC$ прямоугольные по определению, так как они содержат по прямому углу.

б) Нахождение сторон прямоугольника

Рассмотрим наклонные $MA$ и $MC$ и воспользуемся их углами наклона для нахождения длин $AD$ и $CD$ — проекций этих наклонных на плоскость $ABCD$.

1. Найдем $AD$:

   • По теореме о наклонной и её проекции: если угол наклона наклонной $MA$ к плоскости $ABCD$ равен $45^\circ$, то $MA = \frac{MB}{\cos 45^\circ}$.
   • $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит: $$MA = \frac{4}{\cos 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см}.$$
   • Поскольку $\angle MAD = 90^\circ$, сторона $AD$ является проекцией $MA$ на плоскость $ABCD$ и равна: $$AD = MA \cdot \cos 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \text{ см}.$$

2. Найдем $CD$:

   • Угол наклона наклонной $MC$ к плоскости $ABCD$ равен $30^\circ$.
   • По теореме о наклонной и её проекции: $$MC = \frac{MB}{\cos 30^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ см}.$$