В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, угол А=30 градусов, АВ=40. Найдите ВС.

Так как $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза — $AB=40$. При $\angle A=30^\circ$ катет, лежащий напротив угла $A$, — это $BC$.

Можно решить двумя способами.

1) По свойству треугольника $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$:
катет, лежащий напротив $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Значит $BC=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{40}{2}=20$.

2) Через синус:
$\sin A=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\dfrac{BC}{AB}$.
Тогда $BC=AB\cdot\sin 30^\circ=40\cdot \dfrac{1}{2}=20$.

Ответ: $BC=20$.