Найдите радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности, если радиус описанной около него окружности равен √3.

Разобью правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников с вершинами в центре. Центральный угол равен $60^\circ$, значит треугольники равносторонние, и сторона шестиугольника $a$ равна радиусу описанной окружности $R$: $a=R$.

Радиус вписанной окружности шестиугольника — это апофема, т.е. высота равностороннего треугольника со стороной $a$:

Подставляем $R=\sqrt{3}$:

Ответ: $\displaystyle \frac{3}{2}$.