55 БАЛОВ!!! 1.Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 20. Найти расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника.

2.Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 и углом при основании 30 градусов. Ответь дать в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 (корень из3=1.73)

3. В круг вписан квадрат со стороной, равной a=2/корень из пи

1. Задача 1: Радиус окружности, описанной около прямоугольника

Дано, что радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 20. Нужно найти расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Окружность, описанная вокруг прямоугольника, проходит через все его вершины, следовательно, ее центр совпадает с центром прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника имеют длины $a$ и $b$, а диагональ $d$. В случае прямоугольника окружность описана вокруг него, и её радиус $R$ равен половине диагонали:

С помощью теоремы Пифагора находим диагональ прямоугольника:

Подставляем радиус $R = 20$:

Умножаем обе части на 2:

Возводим обе части в квадрат:

Теперь, чтобы найти расстояние между серединами двух смежных сторон, используем геометрическое свойство прямоугольника. Середины смежных сторон — это точки, которые лежат на линии, перпендикулярной диагонали и делящей прямоугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Расстояние между ними равно половине длины стороны прямоугольника, то есть $\frac{a}{2}$, если $a$ — это длина одной из смежных сторон. В данном случае, для конкретных значений $a$ и $b$, мы можем вычислить их через заданное условие.

2. Задача 2: Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Задан равнобедренный треугольник с основанием $12$ и углом при основании $30^\circ$. Необходимо найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности можно найти по формуле:

где $a$ — это основание треугольника, а $\alpha$ — угол при основании.

Из условия задачи:

• основание $a = 12$,
• угол при основании $\alpha = 30^\circ$.

Подставляем в формулу:

Знаем, что $\sin(30^\circ) = 0.5$, следовательно:

Ответ: радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 12.

3. Задача 3: В круг вписан квадрат

Дано, что в круг вписан квадрат со стороной $a = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$. Нужно найти радиус круга.

Из геометрии известно, что если квадрат вписан в круг, то его диагональ является диаметром круга. Диагональ квадрата можно выразить через сторону:

Так как диагональ квадрата равна диаметру круга, радиус $R$ будет:

Подставляем значение $a = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$:

Теперь вычислим численное значение. Знаем, что $\sqrt{\pi} \approx 1.772$, и $\sqrt{2} \approx 1.414$. Тогда:

Ответ: радиус круга, в который вписан квадрат, равен примерно $0.8$.