радиус окружности описанной около правильного многоугольника равен 2 корня из 3 см, а радиус окружности вписанной в него равен 3. Найти сторону многоугольника и количество его сторон

Задача связана с правильным многоугольником, для которого даны радиусы описанной и вписанной окружности. Нужно найти сторону многоугольника и количество его сторон.

Обозначим количество сторон многоугольника как $n$, сторону многоугольника — как $a$, радиус описанной окружности — как $R$, а радиус вписанной окружности — как $r$.

Итак, по условиям задачи:

• $R = 2\sqrt{3}$ см — радиус описанной окружности,
• $r = 3$ см — радиус вписанной окружности.

Для правильного многоугольника существуют следующие соотношения:

1. Радиус описанной окружности $R$ связан с длиной стороны $a$ через угол центрального угла, который равен $\frac{2\pi}{n}$. Формула для радиуса описанной окружности: $$R = \frac{a}{2 \sin\left( \frac{\pi}{n} \right)}$$
2. Радиус вписанной окружности $r$ также связан с длиной стороны $a$ и количеством сторон $n$ по формуле: $$r = \frac{a}{2 \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)}$$

Теперь, зная радиусы $R$ и $r$, мы можем составить систему из двух уравнений.

1. Из первого уравнения для радиуса описанной окружности:

   $$R = \frac{a}{2 \sin\left( \frac{\pi}{n} \right)} \quad \Rightarrow \quad a = 2R \sin\left( \frac{\pi}{n} \right)$$

   Подставим $R = 2\sqrt{3}$:

   $$a = 2 \times 2\sqrt{3} \times \sin\left( \frac{\pi}{n} \right) = 4\sqrt{3} \sin\left( \frac{\pi}{n} \right)$$

2. Из второго уравнения для радиуса вписанной окружности:

   $$r = \frac{a}{2 \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)} \quad \Rightarrow \quad a = 2r \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)$$

   Подставим $r = 3$:

   $$a = 2 \times 3 \times \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) = 6 \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)$$

Теперь, приравняем оба выражения для $a$:

Используем тригонометрическое тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

Упростим это выражение: