в основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС (угол С=90град.). Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, угол ВА1С=30град., А1В=10, АС=5. Найдите площадь боковой поверхности призмы. нужно развернутое решение.

Рассуждение в координатах.

Положу основание призмы в плоскость $z=0$. Пусть $\angle C=90^\circ$, $AC=5$ — возьму

где $b=BC$, $h=AA_1$ — высота призмы.

Условие «через сторону $BC$ и вершину $A_1$ проведена плоскость» означает, что точки $B,C,A_1$ лежат в одной плоскости. В этой плоскости задан угол $\angle BA_1C=30^\circ$, а также известно $A_1B=10$.

Векторы в этой плоскости:

Длина $A_1B$:

Косинус угла между $\overrightarrow{A_1B}$ и $\overrightarrow{A_1C}$ равен $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$:

Обозначив $t=25+h^2$, получаем