Высота правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус описанного шара.

Для решения задачи о нахождении радиуса описанного шара правильной шестиугольной призмы, сначала определим несколько параметров призмы.

1. Шестиугольная призма и её боковые грани:
   Правильная шестиугольная призма состоит из двух шестиугольных оснований и 6 прямоугольных боковых граней. Высота призмы — это расстояние между её основаниями, которое в данном случае равно 8 см. Диагональ боковой грани — это диагональ прямоугольного треугольника, образованного высотой призмы и стороной её основания.

2. Найдем сторону основания шестиугольной призмы:
   Боковая грань призмы представляет собой прямоугольный треугольник, где одна из сторон — это высота призмы (8 см), а гипотенуза — это диагональ боковой грани (13 см). По теореме Пифагора можем найти сторону основания шестиугольной призмы.

   Пусть $a$ — это сторона основания. Тогда для бокового прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

   $$a^2 + 8^2 = 13^2$$ $$a^2 + 64 = 169$$ $$a^2 = 169 - 64 = 105$$ $$a = \sqrt{105} \approx 10,25 \text{ см}.$$

3. Радиус описанного шара:
   Для правильной шестиугольной призмы радиус описанного шара равен расстоянию от центра шестиугольного основания до вершины боковой грани. Это расстояние является расстоянием от центра правильного шестиугольника до его вершины, то есть радиусом вписанной окружности шестиугольника. Для правильного шестиугольника, у которого все стороны равны $a$, радиус вписанной окружности равен:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}.$$

   Подставляем найденное значение стороны $a \approx 10,25 \text{ см}$:

   $$R = \frac{10,25}{\sqrt{3}} \approx \frac{10,25}{1,732} \approx 5,91 \text{ см}.$$

   Таким образом, радиус описанного шара равен примерно 5,91 см.