Сторона правильного многоугольника a = 3 см, а радиус вписанной окружности r = 2 см. Найдите радиус описанной окружности.

Для того чтобы найти радиус описанной окружности правильного многоугольника, нужно воспользоваться известными геометрическими формулами. Давайте разберемся шаг за шагом.

Дано:

• Длина стороны правильного многоугольника $a = 3$ см.

• Радиус вписанной окружности $r = 2$ см.

Шаг 1: Формулы для правильного многоугольника.

Рассмотрим правильный многоугольник с $n$ сторонами. Для него выполняются следующие отношения:

1. Радиус вписанной окружности $r$ связан с длиной стороны $a$ через формулу:

2. Радиус описанной окружности $R$ связан с длиной стороны $a$ через формулу:

Шаг 2: Найдем количество сторон $n$ многоугольника.

Из первой формулы для радиуса вписанной окружности можем выразить количество сторон $n$. Подставим известные значения $r = 2$ и $a = 3$:

Умножим обе части уравнения на $2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$:

Теперь разделим обе части уравнения на 4:

Чтобы найти $n$, нам нужно взять арктангенс:

Теперь найдем $n$:

Таким образом, $n$ приближенно равно 5, что означает, что многоугольник — это правильный пятиугольник.

Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности.

Теперь, когда мы знаем, что многоугольник — это правильный пятиугольник, можно использовать формулу для радиуса описанной окружности. Подставим $n = 5$ и $a = 3$ в формулу для $R$:

Числовое значение синуса угла $\frac{\pi}{5}$ примерно равно 0.5878, следовательно:

Ответ:
Радиус описанной окружности равен примерно 2.55 см.