В окружности проведены диаметры AB и CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

В таком виде условие, скорее всего, содержит ошибку. Если AB и CD — диаметры окружности, то четырехугольник ABCD не обязательно является параллелограммом, потому что отрезки AB и CD в нем являются сторонами, а не диагоналями.

Правильное утверждение обычно формулируется так: если в окружности проведены диаметры AB и CD, то четырехугольник ACBD является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть O — центр окружности. Так как AB и CD — диаметры, точка O является серединой каждого из них:

Рассмотрим четырехугольник ACBD. Его диагонали — это как раз отрезки AB и CD. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

По признаку параллелограмма: если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно,

Поэтому, если в задаче требуется доказать, что именно ABCD — параллелограмм, то, вероятнее всего, в обозначениях четырехугольника допущена опечатка.