Меньшая диагональ ромба равна 8 см, а тупой угол равен 120 градусов. Найдите периметр ромба.

В ромбе все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть сторона ромба равна $a$, а тупой угол — $120^\circ$.

Рассмотрим один из углов ромба: два его соседних стороны образуют угол $120^\circ$. Диагональ, проходящая через этот угол, делит его пополам, то есть образуются два угла по $60^\circ$. Это свойство диагоналей ромба: они являются биссектрисами его углов.

Обозначим диагонали через $d_1$ и $d_2$, где $d_1$ — меньшая диагональ (по условию она равна 8 см).

Есть удобные формулы для диагоналей ромба через сторону и угол между сторонами:

где $\alpha$ — угол ромба.

В нашем случае $\alpha = 120^\circ$, значит

Подставим:

Сравним: $a\sqrt{3} > a$ (так как $\sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1$), значит:

• большая диагональ: $a\sqrt{3}$,

• меньшая диагональ: $a$.

По условию меньшая диагональ равна 8 см, то есть

Тогда периметр ромба:

Ответ: периметр ромба равен 32 см.