Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены медиана $AM$ к стороне $BC$ (точка $M$ — середина $BC$) и высота $AH$ на $BC$ (точка $H$ — основание перпендикуляра).

Рассмотрим любую точку $X$ на прямой $BC$. В треугольнике $AXH$ угол при $H$ прямой, потому что $AH \perp BC$, а $HX \subset BC$. Следовательно, $AX$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $AXH$, а значит

и равенство возможно только при $X=H$.

Применим это к $X=M$. Получаем

то есть длина медианы не меньше длины высоты, проведённых из одной и той же вершины.

Замечание: равенство $AM=AH$ достигается тогда и только тогда, когда медиана совпадает с высотой, т.е. треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=AC$.