Из вершины A прямоугольного треугольника ABC (угол B прямой) к плоскости треугольника проведён перпендикуляр AK. Докажите, что прямые KB и BC взаимно перпендикулярны.

Дано прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B. Вершина A лежит над плоскостью треугольника, и к этой плоскости проведён перпендикуляр AK. Нужно доказать, что прямые KB и BC взаимно перпендикулярны.

Доказательство:

1. Определим важные элементы:

   • Пусть треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в вершине B.

   • Перпендикуляр AK опущен из вершины A на плоскость треугольника ABC.

   • К точке K, где перпендикуляр пересекает плоскость, проведены прямые KB и BC.

2. Используем свойства перпендикуляра:
   Поскольку AK перпендикулярно плоскости треугольника ABC, это означает, что угол между прямой AK и любой прямой, лежащей в этой плоскости, равен 90 градусам. Особенно это касается прямой BC, которая лежит в плоскости треугольника ABC. Таким образом, угол между прямой AK и прямой BC равен 90°.

3. Используем свойство перпендикулярности:
   Из геометрии известно, что если прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость в какой-то точке, то она перпендикулярна всем прямым, которые проходят через эту точку и лежат в плоскости.

   Поскольку AK перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна всем прямым, которые проходят через точку K и лежат в плоскости. В частности, AK перпендикулярна прямой BC.

4. Прямая KB и BC:
   Прямая KB лежит в плоскости треугольника ABC, и так как AK перпендикулярна плоскости треугольника, она также перпендикулярна прямой KB.

   Таким образом, прямые AK, KB и BC находятся в взаимно перпендикулярных отношениях. Поскольку AK перпендикулярна как BC, так и KB, это означает, что прямые KB и BC также взаимно перпендикулярны.

Заключение:

Мы доказали, что прямые KB и BC взаимно перпендикулярны.