Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной. Давайте докажем это.

1. Определение описанной окружности: Когда мы говорим, что вокруг трапеции можно описать окружность, это означает, что все её вершины лежат на одной окружности. Это возможно, если трапеция является циклической, то есть она обладает свойствами, которые позволяют вписать её в окружность.

2. Свойства трапеции: Трапеция — это четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельны. Обозначим эти параллельные стороны как $AB$ и $CD$, где $AB \parallel CD$, а $AD$ и $BC$ — ненулевые боковые стороны.

3. Условие существования описанной окружности: Для того чтобы трапеция имела описанную окружность, необходимое условие — сумма углов на противоположных сторонах должна быть равна $180^\circ$. Это свойство характерно для всех циклических четырёхугольников (то есть для тех, что могут быть вписаны в окружность). В частности, для трапеции это означает, что углы $\angle DAB$ и $\angle DCB$ должны быть дополнительными (в сумме 180°), а также углы $\angle ABC$ и $\angle CDA$ должны быть дополнительными.

4. Углы в равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то есть $AD = BC$. Это приводит к тому, что углы при основании трапеции (углы $\angle DAB$ и $\angle ABC$) равны, а также углы $\angle CDA$ и $\angle DCB$ равны. Когда трапеция равнобедренная, эти углы также должны быть дополнительными, что в свою очередь подтверждает существование описанной окружности.

5. Заключение: Если у трапеции есть описанная окружность, то она удовлетворяет условиям, при которых углы на противоположных сторонах составляют 180°, что возможно только в равнобедренной трапеции. Следовательно, если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция обязана быть равнобедренной.