Около окружности описана равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 24 см. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Романова Анна.

Для решения задачи рассмотрим равнобедренную трапецию, описанную около окружности.

Если около трапеции можно описать окружность, то сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. То есть:

a + b = c + d,

где $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции.

Поскольку трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны:

c = d.

Таким образом:

a + b = 2c.

Подставляем значения оснований:

24 + 6 = 2c,

30 = 2c,

c = 15 \, \text{см}.

Теперь известны все стороны трапеции: $a = 24 \, \text{см}, \, b = 6 \, \text{см}, \, c = d = 15 \, \text{см}$ .

Радиус окружности $r$ , вписанной в трапецию, можно найти через её полупериметр и площадь.

p = \frac{a + b + c + d}{2}.

Подставляем значения:

p = \frac{24 + 6 + 15 + 15}{2} = \frac{60}{2} = 30 \, \text{см}.

r = \frac{S}{p},

где $S$ — площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h,

где $h$ — высота трапеции.

Для нахождения высоты используем формулу площади через стороны и радиус вписанной окружности:

S = p \cdot r.

Объединим обе формулы площади:

\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = p \cdot r.

Так как $p = 30$ , а $a + b = 30$ , упростим уравнение:

\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h = 30 \cdot r.

Сократим на 30:

\frac{h}{2} = r.

Следовательно:

h = 2r.

Для высоты $h$ равнобедренной трапеции существует формула:

h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}.

Подставляем значения:

h = \sqrt{15^2 - \left(\frac{24 - 6}{2}\right)^2}.

h = \sqrt{225 - \left(\frac{18}{2}\right)^2}.

h = \sqrt{225 - 81}.

h = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.

Теперь, зная, что $h = 2r$ , найдем радиус:

r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.

Подставим значения в формулу площади:

S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h.

S = \frac{1}{2} \cdot (24 + 6) \cdot 12.

Ответы на вопрос