Около круга радиуса 2см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30градусов. Найти длину средней линии трапеции.

Для решения задачи найдем длину средней линии равнобедренной трапеции, описанной около круга радиуса $r = 2 \, \text{см}$, с острым углом $\alpha = 30^\circ$.

Шаг 1: Основные свойства описанной трапеции

Если равнобедренная трапеция описана около круга, то сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Это связано с тем, что окружность вписана, а длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Обозначим:

• Нижнее основание трапеции через $a$,
• Верхнее основание через $b$,
• Боковые стороны через $c$.

Имеем:

Средняя линия трапеции $m$ выражается как полусумма её оснований:

Шаг 2: Связь радиуса вписанной окружности и высоты трапеции

Высота $h$ равнобедренной трапеции с вписанной окружностью связана с радиусом окружности как:

Шаг 3: Связь высоты и углов трапеции

Высота $h$ делит боковую сторону $c$ на два отрезка. Эти отрезки вместе с высотой образуют два прямоугольных треугольника с острым углом $\alpha = 30^\circ$. В таком треугольнике гипотенуза $c$ и высота $h$ связаны через синус:

Подставляем значения:

Шаг 4: Найдём основания $a$ и $b$

Из условия $a + b = 2c$:

Ширина трапеции (разность оснований $a - b$) равна удвоенной длине основания прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, углом $\alpha = 30^\circ$ и частью боковой стороны. Это основание выражается через тангенс:

Зная, что $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем:

Теперь решаем систему уравнений:

Складываем:

Вычитаем:

Шаг 5: Средняя линия

Средняя линия $m$ равна:

Ответ:

Длина средней линии трапеции равна 8 см.