Докажите, что если у трапеции углы при основании равны, то трапеция равнобедренная.

Для того чтобы доказать, что если у трапеции углы при основании равны, то трапеция является равнобедренной, воспользуемся свойствами трапеции и углов, образующихся при её основании.

1. Определение трапеции: Трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Пусть основание трапеции — это стороны $AB$ и $CD$, при этом $AB \parallel CD$, а стороны $AD$ и $BC$ не обязательно равны.

2. Углы при основании: Пусть углы $\angle DAB$ и $\angle ABC$ — это углы при основании $AB$, а углы $\angle CDA$ и $\angle DCB$ — это углы при основании $CD$.

3. Условия задачи: Из условия задачи мы знаем, что углы при основании равны, то есть:

   $$\angle DAB = \angle ABC \quad \text{и} \quad \angle CDA = \angle DCB.$$

4. Свойства параллельных прямых: Так как $AB \parallel CD$, то углы на одной стороне трапеции, образованные этими прямыми и секущими $AD$ и $BC$, должны быть взаимно односторонними. А это значит, что:

   $$\angle DAB + \angle CDA = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle ABC + \angle DCB = 180^\circ.$$

   Так как $\angle DAB = \angle ABC$ и $\angle CDA = \angle DCB$, то получается, что пары углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$, а также $\angle CDA$ и $\angle DCB$ равны между собой.

5. Равенство сторон: Из этих равенств следует, что углы при основании трапеции имеют одинаковую величину. Это приводит к тому, что треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle ABC$ являются равными по признаку равенства двух углов и стороны между ними. Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ должны быть равны.

6. Заключение: Таким образом, если у трапеции углы при основании равны, то её боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, и трапеция является равнобедренной.