Высота правильной четырёхугольной призмы равна 4, а диагональ — √34. Чему равна площадь поверхности этой призмы?

Для нахождения площади поверхности правильной четырёхугольной призмы необходимо учитывать, что она состоит из двух квадратных оснований и четырёх прямоугольных боковых граней.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Высота призмы $h = 4$.

   • Диагональ квадрата основания $d = \sqrt{34}$.

2. Найдем сторону квадрата основания.
   Диагональ квадрата связана с его стороной через теорему Пифагора:

   $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2},$$

   где $a$ — это сторона квадрата основания. Подставим значение диагонали:

   $$\sqrt{34} = a\sqrt{2}.$$

   Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

   $$a = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{34}{2}} = \sqrt{17}.$$

3. Площадь боковых граней.
   Боковые грани призмы — это прямоугольники, каждая из которых имеет одну сторону, равную высоте призмы $h = 4$, а другую — сторону основания $a = \sqrt{17}$. Площадь одной боковой грани равна:

   $$S_{\text{боковая}} = a \cdot h = \sqrt{17} \cdot 4 = 4\sqrt{17}.$$

   Так как боковых граней 4, общая площадь боковых граней будет:

   $$S_{\text{боковые}} = 4 \cdot 4\sqrt{17} = 16\sqrt{17}.$$

4. Площадь оснований.
   Площадь одного основания (квадрата) равна:

   $$S_{\text{основание}} = a^2 = (\sqrt{17})^2 = 17.$$

   Так как оснований два, общая площадь оснований будет:

   $$S_{\text{основания}} = 2 \cdot 17 = 34.$$

5. Полная площадь поверхности призмы.
   Площадь поверхности состоит из площади боковых граней и двух оснований:

   $$S_{\text{поверхность}} = S_{\text{боковые}} + S_{\text{основания}} = 16\sqrt{17} + 34.$$

Ответ: полная площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы равна $16\sqrt{17} + 34$.