Из вершины А и В в треугольнике АВС проведены высоты, длины которых соответсвенно равны 12 и 8. Найди АС, если ВС = 16

Чтобы найти длину стороны $AC$ в треугольнике $ABC$, где из вершин $A$ и $B$ проведены высоты на противоположные стороны, нужно использовать свойства прямоугольных треугольников, образованных высотами.

1. Пусть $h_a = 12$ и $h_b = 8$ — это высоты, опущенные из вершин $A$ и $B$ соответственно.

2. Поскольку $h_a$ и $h_b$ — высоты, значит, они перпендикулярны сторонам, на которые опущены, образуя прямоугольные треугольники.

3. Так как высоты $h_a$ и $h_b$ опущены на стороны $BC$ и $AC$ соответственно, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника $ABC$, чтобы выразить её двумя способами:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$$

4. Подставим известные значения в формулу для площади:

   $$\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 8$$

5. Упростим уравнение, избавляясь от дробей:

   $$16 \cdot 12 = AC \cdot 8$$

6. Решим это уравнение для $AC$:

   $$AC = \frac{16 \cdot 12}{8}$$

7. Упростим выражение:

   $$AC = \frac{192}{8} = 24$$

Ответ: Длина стороны $AC$ равна 24.