Площадь прямоугольного треугольника равна 3383√3. Один из острых углов равен 60 градусов. Найти длину катета, лежащего напротив этого угла.

Рассмотрим решение задачи подробно:

1. Исходные данные:

• Площадь треугольника $S = 3383\sqrt{3}$.
• Один из острых углов равен $60^\circ$.
• Нужно найти длину катета, лежащего напротив угла $60^\circ$.

2. Свойства прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике с углом $60^\circ$ и $30^\circ$ катеты имеют пропорциональные отношения:

• Катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
• Катет, лежащий напротив угла $60^\circ$, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ длины гипотенузы.

Обозначим:

• $a$ — катет, лежащий напротив угла $60^\circ$.
• $b$ — катет, лежащий напротив угла $30^\circ$.
• Гипотенуза — $c$.

Соотношения между сторонами:

3. Формула площади треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника выражается через катеты:

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $c$:

4. Выразим гипотенузу:

Подставим площадь $S = 3383\sqrt{3}$ в формулу:

Упростим уравнение:

Умножим обе стороны на 8:

Возьмем корень из обеих сторон:

5. Найдем длину катета $a$:

Катет $a$, лежащий напротив угла $60^\circ$, равен:

Подставим $c = 164$:

6. Ответ:

Длина катета, лежащего напротив угла $60^\circ$, равна $82\sqrt{3}$.