В треугольнике MNP биссектрисы из вершин М и N пересекаются в точке S.Найдите угол MSN, если NPM 48

В треугольнике $MNP$ нам даны две биссектрисы, которые исходят из вершин $M$ и $N$ и пересекаются в точке $S$. Также известно, что угол $\angle NPM = 48^\circ$. Нужно найти угол $\angle MSN$.

Пошаговое решение

1. Рассмотрим треугольник и свойства биссектрис. В треугольнике $MNP$ биссектрисы $MS$ и $NS$ делят углы $\angle M$ и $\angle N$ пополам. Биссектрисы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке — в данном случае, это точка $S$, которая является центром вписанной окружности.

2. Запишем основное условие: сумма углов треугольника. В любом треугольнике сумма всех углов равна $180^\circ$. Поэтому:

   $$\angle M + \angle N + \angle P = 180^\circ$$

   Нам известен угол $\angle NPM = 48^\circ$, поэтому обозначим его просто как $\angle P$.

3. Обозначим углы при вершинах $M$ и $N$ переменными. Пусть $\angle M = x$ и $\angle N = y$. Тогда у нас получается уравнение:

   $$x + y + 48^\circ = 180^\circ$$

   или

   $$x + y = 132^\circ$$

4. Найдем половины углов $\angle M$ и $\angle N$, которые создают угол $\angle MSN$. Поскольку $MS$ и $NS$ являются биссектрисами, они делят углы $M$ и $N$ пополам:

   $$\angle M / 2 = x / 2 \quad \text{и} \quad \angle N / 2 = y / 2$$

5. Выражаем угол $\angle MSN$. Угол $\angle MSN$ является суммой половин углов $M$ и $N$, так как биссектрисы делят углы пополам и создают угол между собой:

   $$\angle MSN = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$$

6. Подставим значение $x + y = 132^\circ$. Разделим это значение пополам, чтобы найти угол $\angle MSN$:

   $$\angle MSN = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ$$

Ответ: