Через вершину конуса проведена плоскость под углом 60 градусов к плоскости основания и пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу в 120 градусов. Высота конуса равна \(6\sqrt{3}\). Найдите: а) длину окружности основания конуса; б) образующую конуса; в) угол между высотой конуса и плоскостью сечения.

Решение.

Пусть у конуса основание — окружность радиуса $R$, центр $O$, вершина $A$, высота $AO=h=6\sqrt3$. Через вершину проведена секущая плоскость $\Pi$, пересекающая основание по хорде $BC$, причём двугранный угол между $\Pi$ и основанием равен $60^\circ$, а хорда стягивает дугу $120^\circ$.

1) Геометрия хорды.
Хорда, стягивающая дугу $120^\circ$, имеет длину

Её середина $M$ лежит на расстоянии

от центра.

Треугольник сечения $ABC$ лежит в плоскости $\Pi$, а его основание — та же хорда $BC$.

2) Связь с углом между плоскостями.
Рассмотрим прямую $l$ в плоскости $\Pi$, проходящую через $M$ перпендикулярно хорде $BC$. Её ортогональная проекция на плоскость основания — прямая $OM$, тоже перпендикулярная $BC$. По определению двугранного угла, угол между $l$ и её проекцией равен углу между плоскостями, то есть $60^\circ$.

Точка $A$ проектируется на плоскость основания в $O$, поэтому отрезок $AM\subset l$ проектируется в $OM$. Следовательно,

С другой стороны, вертикальная (перпендикулярная основанию) составляющая $AM$ равна высоте $h$, а для линии, наклонённой к основанию под углом $60^\circ$,

Отсюда

а) Длина окружности основания:

б) Образующая конуса (наклонная высота):

в) Угол между высотой конуса и плоскостью сечения.
Нормаль к основанию (то есть высота $AO$) образует с нормалью к $\Pi$ угол, равный углу между плоскостями, то есть $60^\circ$. Тогда угол между прямой $AO$ и плоскостью $\Pi$ равен $90^\circ-60^\circ=30^\circ$