Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу в 90 градусов. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 10, а угол в сечении при вершине равен 60 градусов.

Для нахождения площади боковой поверхности конуса, нам нужно учесть несколько геометрических моментов, связанных с описанием задачи.

1. Определим параметры конуса:

   • Образующая конуса $l = 10$ (расстояние от вершины до любой точки основания, которое также является длиной боковой стороны).

   • Угол при вершине конуса $\alpha = 60^\circ$. Это угол между образующей и осью симметрии конуса.

2. Найдем радиус основания:
   Угол при вершине конуса $\alpha$ равен 60°, а образующая $l$ составляет 10. Чтобы найти радиус основания $r$, используем тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, который можно выделить, если провести перпендикуляр из вершины конуса на основание, угол $\alpha$ равен 60°, и гипотенуза равна 10.

   Используем синус:

   $$\sin(\alpha) = \frac{r}{l}$$ $$\sin(60^\circ) = \frac{r}{10}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{10}$$ $$r = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

3. Теперь рассмотрим плоскость, пересекающую конус:
   Плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая стягивает дугу в 90°. Это значит, что длина хорды равна диаметру основания, который равен $2r$. С учетом того, что радиус основания $r = 5\sqrt{3}$, длина хорды будет:

   $$2r = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

4. Площадь боковой поверхности конуса:
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

   $$S = \pi r l$$

   Подставляем значения радиуса и образующей:

   $$S = \pi \times 5\sqrt{3} \times 10 = 50\pi\sqrt{3}$$

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна $50\pi\sqrt{3}$.