CM - перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Найдите расстояние от точки M до прямых AB и CB, если AD=2 см, MB=5 см.

Дан квадрат $ABCD$ со стороной $AD=2$ см, значит все стороны квадрата равны 2 см, в частности

Отрезок $CM$ перпендикулярен плоскости квадрата, то есть точка $M$ находится “над” точкой $C$, а $CM\perp$ любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через $C$.

1) Расстояние от $M$ до прямой $CB$

Прямая $CB$ лежит в плоскости квадрата и проходит через точку $C$. Так как $CM\perp$ плоскости квадрата, то $CM\perp CB$. Значит, перпендикуляр от $M$ к прямой $CB$ — это как раз отрезок $MC$, и искомое расстояние равно $MC$.

Рассмотрим треугольник $MCB$. В нём:

• $MC\perp CB$, значит треугольник прямоугольный с прямым углом при $C$;

• $CB=2$ см;

• $MB=5$ см (по условию) — гипотенуза.

По теореме Пифагора:

Итак, расстояние от $M$ до $CB$:

2) Расстояние от $M$ до прямой $AB$

Прямая $AB$ лежит в плоскости квадрата. Для любой точки $P$ на прямой $AB$ отрезок $MP$ можно “разложить” на две взаимно перпендикулярные части:

• вертикальную $MC$ (перпендикуляр к плоскости),

• и плоскую $CP$ (лежит в плоскости квадрата).

Поскольку $MC\perp$ плоскости, то $MC\perp CP$, значит:

Чтобы расстояние от $M$ до прямой $AB$ было минимальным, нужно минимизировать $CP$, то есть взять $P$ — ближайшую к $C$ точку на прямой $AB$. Тогда $CP$ — это расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ в плоскости квадрата.

В квадрате расстояние от $C$ до $AB$ равно стороне квадрата (перпендикуляр опускается из $C$ на $AB$ и попадает в $B$):

Тогда расстояние от $M$ до $AB$:

Итак, расстояние от $M$ до $AB$:

Ответ

• Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$: $\boxed{5\text{ см}}$.

• Расстояние от точки $M$ до прямой $CB$: $\boxed{\sqrt{21}\text{ см}}$.