Около окружности, r = 1 описан многоугольник, S которого равна 13. Найдите его P.

Если около окружности радиуса $r=1$ описан многоугольник, это означает, что окружность вписана в многоугольник и касается каждой его стороны. Тогда радиус $r$ является радиусом вписанной окружности, то есть апофемой (перпендикуляром от центра к любой стороне).

Разобьём многоугольник на треугольники: проведём от центра окружности отрезки к вершинам многоугольника. Каждый получившийся треугольник имеет высоту, равную $r$, опущенную на соответствующую сторону многоугольника, потому что окружность касается стороны, а радиус к точке касания перпендикулярен стороне.

Пусть длины сторон многоугольника: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда площадь каждого такого треугольника равна

Суммарная площадь многоугольника:

Но $\sum_{i=1}^n a_i$ — это периметр $P$. Значит,

Теперь подставляем $r=1$ и $S=13$:

Ответ: $P=26$.