Около окружности, радиус которой равен \(16\sqrt{2}\), описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Рассмотрим задачу поэтапно.

Нам дан радиус окружности, вписанной в квадрат, то есть окружность касается всех сторон квадрата изнутри. Радиус этой окружности равен:

Так как окружность вписана в квадрат, то её радиус равен половине стороны квадрата:

Где $a$ — сторона квадрата. Подставим значение радиуса:

Теперь найдём радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата. Описанная окружность проходит через все вершины квадрата, и её радиус равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата вычисляется по формуле:

Подставим найденное значение стороны:

Теперь найдём радиус описанной окружности:

Ответ: $\boxed{32}$.