Из точки Д к плоскости а проведены 2 наклонные. по 2 см. угол между ними 60 гр. а между проэкциями 90. найти длинну перпендикуляра

Пусть из точки D к плоскости α проведены наклонные DA и DB (их концы A и B лежат в плоскости). Дано:

• $DA = DB = 2$ см

• угол между наклонными: $\angle ADB = 60^\circ$

• угол между проекциями наклонных на плоскость: $\angle AOB = 90^\circ$, где O — основание перпендикуляра из D на плоскость (то есть $DO \perp \alpha$).

Нужно найти $DO$.

1) Запишем, что такое проекции наклонных

Проекция наклонной $DA$ на плоскость — это отрезок $OA$, где:

• $O$ — проекция точки $D$ на плоскость,

• $A$ — точка на плоскости.

Аналогично проекция $DB$ — это $OB$.

Значит, в плоскости лежит треугольник $AOB$, и по условию:

2) Из равенства наклонных получаем равенство их проекций

Рассмотрим прямоугольные треугольники $DAO$ и $DBO$:

Но $DA = DB = 2$, значит $DA^2 = DB^2$, а $DO$ одно и то же, поэтому:

Обозначим:

Тогда из $DA=2$:

3) Найдём $AB$ двумя способами

Способ 1: по треугольнику $ADB$ (в пространстве)

В треугольнике $ADB$:

По теореме косинусов:

Способ 2: по треугольнику $AOB$ (в плоскости)

Треугольник $AOB$ лежит в плоскости, причём:

Значит $AOB$ — прямоугольный равнобедренный, и:

Но мы уже нашли, что $AB^2 = 4$. Тогда:

4) Найдём перпендикуляр $DO$

Возвращаемся к формуле:

Подставляем $r^2 = 2$: