Из точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 метра. Найти расстояние от точки до плоскости, если угол между наклонными 60 градусов, а угол между их проекциями 90 градусов.

Решение.

Обозначим точку вне плоскости $P$, плоскость — $\pi$. Пусть точки основания наклонных на плоскости — $A$ и $B$, $PH$ — перпендикуляр от $P$ к плоскости (т.е. $H$ — проекция $P$ на плоскость). Тогда проекции наклонных $PA$ и $PB$ на плоскость — это векторы $HA$ и $HB$. По условию

1. В треугольнике $PAB$ по закону косинусов

откуда $AB=2$.

2. Пусть $r=HA=HB$. Т.к. угол между $HA$ и $HB$ равен $90^\circ$, то в прямоугольном треугольнике $AHB$

Так как $AB=2$, получаем $2r^2=4$, значит $r^2=2$ и $r=\sqrt2$.

3. В прямоугольном треугольнике $PHA$ из теоремы Пифагора

Значит искомое расстояние $PH=h=\sqrt2$ метров.

Ответ: $\; \sqrt{2}$ м.