Основанием прямой призмы является прямоугольник со сторонами 5см и 12 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания 45°. Найдите боковое ребро призмы

Чтобы найти боковое ребро прямой призмы, нужно внимательно рассмотреть геометрическую ситуацию и использовать теорему Пифагора в трехмерном пространстве.

1. Параметры задачи:

   • Основание призмы — прямоугольник с размерами сторон 5 см и 12 см.
   • Диагональ прямой призмы образует угол 45° с плоскостью основания.
   • Необходимо найти боковое ребро призмы.

2. Диагональ основания: Начнем с того, что основание — прямоугольник. Чтобы найти длину диагонали основания, применим теорему Пифагора:

   $$d_{\text{основания}} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}.$$

   Таким образом, длина диагонали основания прямоугольника составляет 13 см.

3. Представление бокового ребра: Боковое ребро призмы перпендикулярно основанию и образует с плоскостью основания угол 45°. Боковое ребро можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором одна из катетов — это диагональ основания, а другой — высота призмы (боковое ребро).

   Пусть боковое ребро призмы равно $h$. Тогда, зная, что угол между диагональю основания и боковым ребром составляет 45°, можно использовать косинус угла для нахождения высоты.

   Косинус угла между диагональю основания и боковым ребром выражается как:

   $$\cos(45^\circ) = \frac{\text{диагональ основания}}{\text{боковое ребро}} = \frac{13}{h}.$$

4. Решение уравнения: Известно, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим это значение в уравнение:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{13}{h}.$$

   Умножив обе стороны на $h$, получаем:

   $$h = 13\sqrt{2}.$$

5. Конечный ответ: Значит, боковое ребро призмы имеет длину $13\sqrt{2}$, что примерно равно 18,38 см.

Ответ: боковое ребро прямой призмы равно 13√2 см или примерно 18,38 см.