Докажите, что точки А (1,1,2), В (4,5,-8), С (2,-1,0) и D ( -1,-5,10)являются вершинами параллелограмма. Выразите вектор через векторы и .Точка O-точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Вычислите сумму квадратов диагоналей параллелограмма.​

Для доказательства того, что точки A(1, 1, 2), B(4, 5, -8), C(2, -1, 0) и D(-1, -5, 10) являются вершинами параллелограмма, нам нужно показать, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то есть их соответствующие векторы равны.

1. Сначала найдем векторы, представляющие стороны предполагаемого параллелограмма:

• Вектор AB (от точки A до точки B):

  $$\overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1, 5 - 1, -8 - 2) = (3, 4, -10)$$

• Вектор DC (от точки D до точки C):

  $$\overrightarrow{DC} = C - D = (2 - (-1), -1 - (-5), 0 - 10) = (3, 4, -10)$$

Мы видим, что векторы AB и DC равны, следовательно, стороны AB и DC параллельны и равны по длине.

• Теперь найдем векторы AD и BC:

  Вектор AD (от точки A до точки D):

  $$\overrightarrow{AD} = D - A = (-1 - 1, -5 - 1, 10 - 2) = (-2, -6, 8)$$

  Вектор BC (от точки B до точки C):

  $$\overrightarrow{BC} = C - B = (2 - 4, -1 - 5, 0 - (-8)) = (-2, -6, 8)$$

Здесь мы видим, что векторы AD и BC тоже равны, значит стороны AD и BC параллельны и равны по длине.

Таким образом, так как противоположные стороны равны и параллельны, можно сделать вывод, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма.

2. Теперь выразим вектор через векторы и .

По определению параллелограмма, его диагонали пересекаются в точке O, и эта точка делит диагонали пополам. Это означает, что точка O – это середина каждой диагонали.

Векторы диагоналей AC и BD можно найти так:

• Вектор AC:

  $$\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 1, -1 - 1, 0 - 2) = (1, -2, -2)$$

• Вектор BD:

  $$\overrightarrow{BD} = D - B = (-1 - 4, -5 - 5, 10 - (-8)) = (-5, -10, 18)$$

3. Найдем сумму квадратов диагоналей параллелограмма.

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов длин векторов AC и BD. Для этого вычислим длины этих векторов:

• Длина вектора AC:

  $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

• Длина вектора BD:

  $$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-10)^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 100 + 324} = \sqrt{449}$$

Теперь вычислим сумму квадратов длин этих векторов:

Таким образом, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна 458.