Дана пирамида, в основании которой лежит ромб со сторонами 4 см. Острые углы ромба равны 30°, двугранные углы при основании равны 45°. Найдите объем пирамиды.

Найдём объём пирамиды по формуле

1) Площадь основания (ромба)

Основание — ромб со стороной $a=4$ см и острым углом $30^\circ$. Площадь ромба:

2) Высота пирамиды из условия о двугранном угле

Дано: все двугранные углы при основании равны $45^\circ$. Это означает, что угол между плоскостью основания и любой боковой гранью по ребру основания одинаковый. Такое возможно, когда проекция вершины на основание — точка, равноудалённая от всех сторон основания, то есть центр вписанной окружности (инцентр) ромба.

Обозначим:

• $h$ — высота пирамиды,

• $r$ — расстояние от точки проекции вершины на основание до любой стороны ромба (то есть радиус вписанной окружности ромба).

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной выбранной стороне ромба и проходящей через вершину пирамиды и её проекцию на основание. В этом сечении двугранный угол $45^\circ$ превращается в обычный угол между:

• линией, лежащей в основании и перпендикулярной стороне (это отрезок длины $r$),

• линией в боковой грани, которая поднимается к вершине (наклонный отрезок).

Получается прямоугольный треугольник, в котором

Так как $\tan 45^\circ=1$, имеем

Теперь найдём $r$ для ромба.

3) Радиус вписанной окружности ромба

У любого ромба есть вписанная окружность, а её радиус выражается как

где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.

Периметр ромба $P=4a=16$, значит полупериметр $p=8$. Мы уже нашли $S=8$. Тогда

Следовательно,

4) Объём пирамиды

Ответ: $\displaystyle \frac{8}{3}\ \text{см}^3$.