В трапецию, вписанную в окружность, можно вписать окружность радиуса 4 см. Найдите стороны

Ответы на вопрос

Отвечает Тихонов Денис.

Хорошо, разберёмся с задачей шаг за шагом.

Нам дано:

Трапеция вписана в окружность (значит, это вписанная трапеция, а для вписанной трапеции выполняется условие: сумма противоположных сторон равна).
В трапецию можно вписать окружность радиуса $r = 4$ см.
Средняя линия $m = 10$ см.

Найти стороны трапеции.

Шаг 1: Основные свойства трапеции

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AB = a$ и $CD = b$ , причём $AB \parallel CD$ , а боковые стороны $AD = c$ , $BC = d$ .

1.1 Средняя линия

Средняя линия трапеции — это среднее арифметическое оснований:

m = \frac{a + b}{2}

Нам дано $m = 10$ , значит:

\frac{a + b}{2} = 10 \implies a + b = 20

Шаг 2: Условие вписанной окружности

Если в трапецию можно вписать окружность, значит, она косая (трапеция с вписанной окружностью называется вписанной) и выполняется равенство сумм противоположных сторон:

a + b = c + d

Так как $a + b = 20$ , получаем:

c + d = 20

Шаг 3: Вписанная трапеция в окружность

Если трапеция вписана в окружность, она должна быть равнобокой (это известное свойство: вписанная трапеция всегда равнобокая).

Значит, боковые стороны равны:

c = d

И тогда из $c + d = 20$ получаем:

2c = 20 \implies c = 10

Следовательно, боковые стороны $AD = BC = 10$ см.

Шаг 4: Вписанная окружность

Пусть радиус вписанной окружности $r = 4$ . Тогда площадь трапеции можно выразить через полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности:

S = p \cdot r

Полупериметр:

p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{20 + 10 + 10}{2} = 20

Проверим площадь через радиус:

S = p \cdot r = 20 \cdot 4 = 80

Шаг 5: Выражение площади через основания и высоту

Площадь трапеции также:

S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = \frac{20}{2} \cdot h = 10 h

Сравниваем с $S = 80$ , получаем:

10 h = 80 \implies h = 8

Шаг 6: Найдём основания

Так как трапеция равнобокая, боковые стороны равны $10$ см, а высота $h = 8$ см. Боковые стороны и высота образуют прямоугольные треугольники на концах трапеции, и из теоремы Пифагора можно найти длину основания, если нужно найти конкретные $a$ и $b$ с учётом равнобокости:

\text{Разность половин оснований: } x = \sqrt{c^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6

То есть:

\frac{a - b}{2} = 6 \implies a - b = 12

И мы знаем $a + b = 20$ . Решаем систему:

\begin{cases} a + b = 20\\ a - b = 12 \end{cases}

Складываем: $2a = 32 \implies a = 16$
Тогда $b = 20 - 16 = 4$

✅ Шаг 7: Итог

Все стороны трапеции:

AB = 16 \text{ см},\quad CD = 4 \text{ см},\quad AD = BC = 10 \text{ см}

Высота $h = 8$ см, радиус вписанной окружности $r = 4$ см, средняя линия $m = 10$ см.

Ответ:

A B = 16 см, C D = 4 см, A D = B C = 10 см

В трапецию, вписанную в окружность, можно вписать окружность радиуса 4 см. Найдите стороны трапеции, если средняя линия равна 10 см.