Длины отрезков, на которые диагональ трапеции делит её среднюю линию, относятся как 3:7. Найти основания трапеции, если их разность равна 20 см.

Пусть трапеция $ABCD$, где основания $AB\parallel CD$, $AB$ — меньшее основание, $CD$ — большее. Обозначим

Рассмотрим среднюю линию трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим середины боковых сторон $AD$ и $BC$ как $M$ и $N$ соответственно, тогда $MN$ — средняя линия, и она параллельна основаниям.

Проведём диагональ $AC$. Она пересечёт среднюю линию $MN$ в точке $P$. Важно установить, на какие части $MP$ и $PN$ делится средняя линия.

Ключевой факт

Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований:

Это можно увидеть, например, координатным способом: если расположить трапецию так, чтобы основания были горизонтальны, то средняя линия окажется на половине высоты, а диагональ пересечёт её ровно в середине диагонали; при этом горизонтальные “пробеги” до точки пересечения дадут ровно половины соответствующих оснований.

Тогда отношение частей средней линии равно отношению оснований:

По условию:

в зависимости от того, какая часть средней линии названа первой. Но основания трапеции различаются на 20 см, и большее основание должно соответствовать большему числу в отношении. Значит,

Пусть тогда

Из разности оснований:

Следовательно,

Ответ

Основания трапеции равны 15 см и 35 см.