Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 см и радиусом вписанной окружности 2 см найдем его периметр и площадь.

Шаг 1. Свойства прямоугольного треугольника и радиуса вписанной окружности

Радиус $r$ вписанной окружности прямоугольного треугольника выражается через стороны треугольника $a$, $b$ и $c$ (где $c$ — гипотенуза) следующим образом:

Подставляя $r = 2$ и $c = 10$, получаем:

Умножим на 2:

Следовательно:

Шаг 2. Теорема Пифагора

Для прямоугольного треугольника выполняется:

Подставим $c = 10$:

Шаг 3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $a + b = 14$,
2. $a^2 + b^2 = 100$.

Найдем $a$ и $b$

Из первого уравнения выразим $b$:

Подставим это в второе уравнение:

Раскроем скобки:

Сложим подобные:

Упростим:

Разделим на 2:

Решим квадратное уравнение:

Тогда:

• если $a = 8$, то $b = 14 - 8 = 6$;
• если $a = 6$, то $b = 14 - 6 = 8$.

Шаг 4. Периметр треугольника

Периметр $P$ равен сумме сторон треугольника:

Подставим $a = 8$, $b = 6$, $c = 10$:

Шаг 5. Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как:

Подставим $a = 8$, $b = 6$:

Ответ:

• Периметр треугольника: $24$ см.
• Площадь треугольника: $24$ см².