Дано: Ромб ABCD. Диагонали равны 30 см и 40 см. Найти радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Даны диагонали:

Половины диагоналей равны:

Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Тогда сторона ромба:

Теперь найдём площадь ромба через диагонали:

Так как в ромб можно вписать окружность, его площадь также равна:

где $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр ромба.

Периметр ромба:

Полупериметр:

Тогда:

Ответ: радиус окружности, вписанной в ромб, равен $12$ см.