Равнобокая трапеция с основаниями 4 и 16 описана около окружности. Найти: 1. радиус вписанной окружности; 2. радиус описанной окружности.

Чтобы решить задачу о равнобокой трапеции с основаниями 4 и 16, которая описана около окружности, начнем с нахождения радиуса вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности

Для того чтобы трапеция могла быть описана около окружности, сумма длин её оснований должна быть равна сумме длин боковых сторон. Пусть боковые стороны трапеции равны $a$. Таким образом, для равнобокой трапеции выполняется следующее условие:

Это даёт:

Теперь, зная длины оснований и боковых сторон, можно найти высоту трапеции. Для этого воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ по следующей формуле:

где $p$ — полупериметр трапеции. Полупериметр $p$ равен:

Площадь трапеции также можно вычислить через её основания и высоту $h$:

Таким образом, из равенства двух выражений для площади получаем:

Теперь вычислим высоту $h$ с помощью теоремы Пифагора для бокового треугольника. Если отложить высоту трапеции, то основание прямоугольного треугольника будет равно разности оснований трапеции, то есть $\frac{16 - 4}{2} = 6$. Гипотенуза этого треугольника — боковая сторона, равная 10. Тогда по теореме Пифагора:

Теперь, зная высоту, можем найти радиус вписанной окружности:

Ответ на первый пункт задачи: радиус вписанной окружности равен 4.

2. Радиус описанной окружности

Для нахождения радиуса описанной окружности для трапеции используется формула:

где $a$ — длина боковой стороны, а $\theta$ — угол при основании трапеции.

Мы знаем, что для равнобокой трапеции угол при основании можно найти из того, что сумма углов трапеции составляет 180 градусов, и боковые стороны равны. Однако проще воспользоваться тем, что в случае описания окружности около трапеции радиус описанной окружности $R$ можно выразить через полупериметр и площадь:

Площадь трапеции $S = 10 \cdot h = 10 \cdot 8 = 80$, а полупериметр $p = 20$. Тогда радиус описанной окружности:

Ответ на второй пункт задачи: радиус описанной окружности равен 4.

Итоговый ответ:

1. Радиус вписанной окружности $r = 4$.

2. Радиус описанной окружности $R = 4$.