Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины острого угла, равен 54 градуса. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, и вершина $A$ — вершина острого угла. Обозначим острый угол ромба через $\alpha=\angle DAB$.

1. Свойство диагонали ромба
   В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Значит, диагональ $AC$, проведённая из вершины $A$, делит угол $\angle DAB$ пополам:

2. Что такое высота из вершины $A$
   Высота из $A$ опускается на противоположную сторону $CD$. Обозначим её $AH$, где $H\in CD$, и

Но в параллелограмме (и в ромбе) противоположные стороны параллельны, значит

То есть угол между высотой $AH$ и стороной $AB$ равен $90^\circ$:

3. Связываем с данным углом $54^\circ$
   По условию угол между высотой $AH$ и диагональю $AC$, проведёнными из $A$, равен $54^\circ$, то есть

Луч $AC$ отклонён от $AB$ на $\frac{\alpha}{2}$, а луч $AH$ отклонён от $AB$ на $90^\circ$. Значит угол между $AH$ и $AC$ равен разности:

Подставляем $54^\circ$:

4. Второй угол ромба
   Соседние углы параллелограмма (и ромба) дополняют друг друга до $180^\circ$:

Ответ: углы ромба равны $72^\circ$ и $108^\circ$.