Докажите, что если сторона и проведенные к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведенным к ней высоте и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольнике $ABC$ дана сторона $AB$. К ней проведены высота $CH$ и медиана $CM$, где $H$ — основание высоты, а $M$ — середина стороны $AB$.

Во втором треугольнике $A'B'C'$ дана соответствующая сторона $A'B'$, высота $C'H'$ и медиана $C'M'$.

По условию:

Докажем, что треугольники равны.

Так как $CM$ — медиана, то точка $M$ является серединой $AB$, значит

Аналогично

Но $AB=A'B'$, следовательно,

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMH$. Он прямоугольный, потому что $CH\perp AB$, а точки $M$ и $H$ лежат на прямой $AB$. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $CM$, а катет равен $CH$. Значит, второй катет $MH$ определяется однозначно:

Во втором треугольнике аналогично:

Так как $CM=C'M'$ и $CH=C'H'$, то

Итак, в обоих треугольниках известны и равны:

Теперь расстояния от основания высоты до концов стороны, то есть $AH$ и $BH$, полностью определяются величинами $AM$ и $MH$. Возможны только симметричные случаи: точка $H$ может находиться по одну или по другую сторону от середины $M$. Но при переходе от одного случая к другому отрезки $AH$ и $BH$ просто меняются местами.

Значит, в двух треугольниках получаем одну и ту же пару отрезков:

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $ACH$ и $BCH$. По теореме Пифагора: