Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата

Ответы на вопрос

Отвечает Лис Максим.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ , в котором угол $A$ прямой. Обозначим катеты:

AB=a,\qquad AC=b

а гипотенузу:

BC=c

Тогда по теореме Пифагора:

c^2=a^2+b^2

Докажем, что сумма квадратов трёх медиан равна

\frac{3}{2}c^2

Расположим треугольник на координатной плоскости так, чтобы вершина прямого угла была в начале координат:

A(0,0),\qquad B(a,0),\qquad C(0,b)

Теперь найдём квадраты длин всех трёх медиан.

1. Медиана из вершины $A$ к гипотенузе $BC$ .

Середина отрезка $BC$ имеет координаты

M\left(\frac a2,\frac b2\right)

Поэтому

AM^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2

AM^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}

AM^2=\frac{a^2+b^2}{4}

Так как $a^2+b^2=c^2$ , то

AM^2=\frac{c^2}{4}

2. Медиана из вершины $B$ к стороне $AC$ .

Середина отрезка $AC$ имеет координаты

N\left(0,\frac b2\right)

Тогда

BN^2=(a-0)^2+\left(0-\frac b2\right)^2

BN^2=a^2+\frac{b^2}{4}

3. Медиана из вершины $C$ к стороне $AB$ .

Середина отрезка $AB$ имеет координаты

P\left(\frac a2,0\right)

Тогда

CP^2=\left(0-\frac a2\right)^2+(b-0)^2

CP^2=\frac{a^2}{4}+b^2

Теперь сложим квадраты трёх медиан:

AM^2+BN^2+CP^2 = \frac{a^2+b^2}{4} + \left(a^2+\frac{b^2}{4}\right) + \left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)

Соберём отдельно слагаемые с $a^2$ и $b^2$ :

AM^2+BN^2+CP^2 = \frac{a^2}{4}+a^2+\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+b^2

Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата гипотенузы.