В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол C = 70°, AM = NM, угол CAN = 35°. Докажите, что MN ∥ AC. Найдите угол BMN. Запишите решение и ответ.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Тогда

Пусть $N\in BC$ и $\angle CAN=35^\circ$. Так как $\angle A=70^\circ$, то из условия

следует, что $AN$ — биссектриса угла $A$. Значит,

Пусть $M\in AB$ и выполнено $AM=NM$. Тогда треугольник $AMN$ равнобедренный с равными сторонами $AM$ и $NM$, поэтому равны углы при основании $AN$:

Но $\angle MAN$ — это угол между $AM$ (а $AM$ лежит на прямой $AB$) и $AN$, то есть

Следовательно,

Теперь сравним углы $\angle ANM$ и $\angle CAN$. По условию $\angle CAN=35^\circ$, а мы получили $\angle ANM=35^\circ$. Эти углы — соответствующие (или накрест лежащие) при пересечении прямых $NM$ и $AC$ секущей $AN$. Значит,

Осталось найти $\angle BMN$. Так как $M\in AB$, прямая $MB$ совпадает с прямой $AB$. А $MN\parallel AC$, поэтому

Но $\angle BAC=\angle A=70^\circ$. Следовательно,

Ответ: $MN\parallel AC$, $\angle BMN=70^\circ$.