боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды МАВСD с вершиной М равно стороне ее основания. Найдите угол между прямыми АВ и СМ

Ответ: 60°.

Объяснение очень простое, если заметить удачную параллель.

Дана правильная четырехугольная пирамида $MABCD$.
Это значит, что:

• основание $ABCD$ — квадрат;

• все боковые рёбра равны:

  $$MA = MB = MC = MD.$$

По условию боковое ребро равно стороне основания. Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда

и одновременно

Нужно найти угол между прямыми $AB$ и $CM$.

Шаг 1. Используем параллельность в квадрате

В квадрате противоположные стороны параллельны, значит

Поэтому угол между прямыми $AB$ и $CM$ равен углу между прямыми $CD$ и $CM$, так как $CD$ — прямая, параллельная $AB$, и она пересекает $CM$ в точке $C$.

То есть ищем угол

Шаг 2. Рассмотрим треугольник $MCD$

В этом треугольнике:

• $MC = a$ — боковое ребро;

• $MD = a$ — боковое ребро;

• $CD = a$ — сторона квадрата основания.

Получается, что

Значит, треугольник $MCD$ равносторонний.

А в равностороннем треугольнике каждый угол равен $60^\circ$. Следовательно,

Итак, угол между прямыми $AB$ и $CM$ равен