Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите tg двугранного угла при ребре AC.

Рассмотрим пирамиду $DABC$.

По условию:

• основание $ABC$ — равнобедренный треугольник;

• $AB = BC = 13$,

• $AC = 24$,

• $DB \perp (ABC)$,

• $DB = 20$.

Нужно найти $\tg$ двугранного угла при ребре $AC$.

1. Что такое двугранный угол при ребре $AC$

Это угол между плоскостью основания $(ABC)$ и боковой гранью $(DAC)$, которые пересекаются по ребру $AC$.

Чтобы найти такой угол, удобно провести сечение плоскостью, перпендикулярной ребру $AC$. Тогда двугранный угол сведётся к обычному углу между двумя прямыми в этом сечении.

2. Найдём высоту треугольника $ABC$, опущенную из вершины $B$ на основание $AC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BM$, где $M$ — середина $AC$, является и медианой.

Тогда:

В прямоугольном треугольнике $ABM$:

Значит,

3. Выберем нужное сечение

Проведём плоскость через точки $B$ и $D$, перпендикулярную ребру $AC$.

Почему это удобно:

• $BM \perp AC$ в плоскости основания,

• $DB \perp (ABC)$, значит $DB \perp AC$ тоже,

• следовательно, плоскость $DBM$ перпендикулярна $AC$.

Эта плоскость пересечёт:

• плоскость основания $(ABC)$ по прямой $BM$,

• плоскость боковой грани $(DAC)$ по прямой $DM$.

Значит искомый двугранный угол равен углу $\angle BMD$.

4. Рассмотрим треугольник $DBM$

Так как $DB \perp (ABC)$, а $BM$ лежит в плоскости основания, то

Следовательно, треугольник $DBM$ прямоугольный, причём:

• $DB = 20$,

• $BM = 5$.

Искомый угол — это угол при точке $M$, то есть $\angle BMD$.

Тогда

Ответ: